Постановка краевой задачи осесимметричного нестационарного теплообмена при центральном зажигании

Схема распространения фронта горения при зажигании из центра круглой пластины показана на рис. 2.15.

Физическая задача согласно расчетной схеме, приведенной на рис. 2.16, формулируется следующим образом. Круглая заготовка толщиной 2h1 и радиусом R1 помещена в песчаную оболочку и стальную цилиндрическую матрицу. Размеры оболочки и матрицы известны. В начальный момент времени в центре заготовки инициируется реакция горения с известной температурой горения Тг и скоростью горения uг. Объект моделирования представляет собой трехэлементную осесимметричную систему с областями конечных размеров и с внутренней подвижной границей первого рода (фронт горения). Между элементами системы происходит нестационарный теплообмен. Теплообмен продуктов синтеза с оболочкой и оболочки с инструментом осуществляется при граничных условиях четвертого рода с идеальным тепловым контактом. На границе «инструмент-окружающая» среда имеют место граничные условия третьего рода. Фронт горения считается плоским и адиабатическим. Требуется найти температурное поле системы трех соприкасающихся тел в произвольный момент времени t. В связи с осевой симметрией рассматривается четвертая часть меридионального сечения в цилиндрических координатах r и z.

Математическая постановка задачи осесимметричного теплообмена на стадии горения включает:

1) систему трех дифференциальных уравнений нестационарной теплопроводности в цилиндрических координатах

   ;(2.34)

2) граничные условия:

на границах «заготовка-оболочка» (z=h1) и «оболочка - инструмент» (z = h2 и r = rм) – условия четвертого рода

l1 = l2;      T1(r, h1, t) = T2(r, h1, t) ;            (2.35)

l2 = l3;      T2(r, h2, t) =T3(r, h2, t);                    

на границе «инструмент-окружающая» среда (z = h3 и r = Rм) – условия третьего рода (конвективный теплообмен)

l3 + aт[T3(r, h3, t) - Ts] = 0;                                        (2.36)

l3 + aт[T3(Rм, z, t) - Ts] = 0;

3) начальные условия

Т1(0, z1, 0) = Tг; Т2(r, z, 0) = Ts; Т3(r, z, 0) = Ts;                              (2.37)

4) уравнение движения фронта горения

                                                rг = uг t ;                                      (2.38)

5) температуру подвижной границы первого рода (фронт горения)

                                          Т1(rг, z1, t) = Тг ;                                (2.39)

6) условие адиабатичности перед фронтом горения

                                   ;                         (2.40)

    7) условие симметрии температурного поля относительно осей
z и r

                               ; .                     (2.41)

При расчете температурного поля после сгорания всего объема шихты из системы уравнений (2.34)-(2.40) исключаются уравнения (2.38)-(2.40) и добавляются граничные условия четвертого рода на цилиндрической поверхности заготовки при r = R1:

            l1 = l2; T1(R1, z, t) = T2(R1, z, t).  (2.42)

В уравнениях (2.34)-(2.42) введены следующие обозначения: Тi – температура тел; Сi, di, li – удельная теплоемкость, гравиметрическая плотность и коэффициент теплопроводности тел системы; hi – характерные размеры тел системы  (см. рис. 2.16); i – индекс тела системы: 1 – продукты синтеза, 2 – оболочка, 3 – пуансон; t – время; rг – радиус фронта горения; rм, Rм – внутренний и наружный радиусы матрицы; aт – коэффициент теплоотдачи; ТS – температура среды; n – нормаль к граничной поверхности.

Поставленная осесимметричная краевая задача нестационарного теплообмена решалась методом конечных элементов при минимизации функционала Дьярмати. имеющего в цилиндрических координатах следующий вид:

            J=

                                      ,                            (2.43)

где Vi – объем тел системы; S3 – площадь инструмента с конвективным теплообменом. На стадии горения объем V1 горячих продуктов синтеза, с которыми происходит теплообмен, является функцией времени:

                                      .                            (2.44)

Численное решение осесимметричной задачи осуществлялось по алгоритму численного решения плоской задачи нестационарного теплообмена, который был рассмотрен в разд. 2.2. Зависимость теплофизических свойств продуктов синтеза и песчаной оболочки от температуры не учитывалась, и решалась физически линейная краевая задача. Для дискретизации объекта использовались кольцевые осесимметричные элементы треугольного сечения и линейная аппроксимация температуры внутри каждого элемента. При разбиении на конечные элементы вся область сначала покрывалась прямоугольной сеткой, а затем полученные прямоугольники диагоналями делились на два треугольника. В областях границ контактного теплообмена заготовки и оболочки с высокими градиентами температуры выполнялось сгущение сетки КЭ. Элементы матриц теплопроводности, теплоемкости и вектора тепловых нагрузок {Fk} вычисляли по известным зависимостям для кольцевых элементов треугольного сечения. Для дискретной модели осесимметричной задачи принимались такие же значения пространственно-временных координат, что и для дискретной модели плоской задачи. При этом общее число узлов составляло Nu = 299; число элементов  Ne = 528.