Краевая задача пластического деформирования при СВС-прессовании состоит в следующем. Горячая пористая нелинейно-вязкая заготовка, имеющая форму круглой пластины, помещена в оболочку из сыпучего материала и в жесткую закрытую цилиндрическую матрицу. Заданы температура и начальная относительная плотность заготовки и оболочки. Заготовку вместе с оболочкой сжимают жестким пуансоном, который перемещается с заданной скоростью v0 и развивает максимальное усилие прессования q. Скорость v0 мала, и поле напряжений удовлетворяет условию квазистатичности. Реологические свойства материала заготовки и оболочки известны. На границе оболочки с инструментом действуют силы трения. Скольжение оболочки относительно заготовки происходит без трения. Требуется определить конечные размеры и распределение плотности в материале заготовки при усилии прессования q.

Для описания процесса деформирования используется континуальная теория пластического течения сжимаемых сред. Решение сформулированной задачи состоит в нахождении в каждый момент времени t вектора скоростей v(x, t) и плотности r (x, t) точек деформируемой среды, положение которых в пространстве определяется радиусом-вектором x. При осесимметричном деформировании положение точек однозначно определяется двумя цилиндрическими координатами: r и z; поле скоростей – двумя компонентами вектора v: осевой скоростью vz(r, z, t) и радиальной скоростью vr(r, z, t). В связи с осевой симметрией рассматривается только меридиональное сечение (рис. 4.4).

Математическая постановка задачи включает:

1) кинематические соотношения Коши

; (4.18)

2) уравнение неразрывности

;  (4.19)

3) уравнения равновесия

                                            ;                                       (4.20)

4) определяющие соотношения между тензором напряжений sij и тензором скоростей деформаций eij для пористой нелинейно-вязкой заготовки

                     (4.21)

и для сыпучей оболочки

                   .              (4.22)

Параметры a1 в (4.21) и a2 в (4.22) принимаются равными

                 ,           (4.23)

где r0 – насыпная плотность. В отличие от несжимаемых тел в определяющие уравнения уплотняемых тел в качестве структурного параметра входит плотность, изменение которой регулируется уравнением неразрывности.

Уравнения (4.18) - (4.23) образуют замкнутую систему уравнений с тремя неизвестными: плотностью r(x, t) и двумя компонентами поля скоростей v(x, t): vz(r, z, t) и vr(r, z, t). Система уравнений (4.18) - (4.23) дополняется начальными и граничными условиями.

Начальные условия задают начальное распределение плотности в заготовке 1 и оболочке 2. Принималось, что в начальный момент времени относительная плотность по объему заготовки и оболочки распределена однородно:

 

                               r1(x, 0) = r10;  r2(x, 0) = r20.                         (4.24)

 

Рассмотрим граничные условия. Кинематические граничные условия отражают условие непроницаемости на внешней границе оболочки (см. рис. 4.1):

 

       vr(0, z, t) = 0;  vz(r, 0, t) = 0;  vz(r, h, t) = - v0;  vr(RМ, z, t) = 0. (4.25)

 

На границе «заготовка-оболочка» условие полного сцепления представляет собой равенство скоростей на всей поверхности контакта: vк1(x, t) = vк2(x, t). В отсутствие сил трения условие контактного взаимодействия  на границе заготовки и оболочки представляет собой равенство нормальных компонент скоростей на всей поверхности контакта:

 

                                      vn1(x, t) = vn2(x, t).                                 (4.26)

 

На внешней границе оболочки при наличии трения имеют место смешанные граничные условия. Кинематическая часть граничных условий представляет собой условие непроницаемости:

 

   vr(r2, z, t) = 0; vz(r, 0, t) = 0; vz(r, h, t) = - v0; vr(R2, z, t) = 0.         (4.27)

 

Статическая часть граничных условий выражается законом трения на контактной поверхности через соотношение между нормальной sn и касательной t составляющими вектора поверхностных напряжений. При малых нормальных давлениях действует закон трения Кулона: удельная сила трения скольжения tск пропорциональна нормальному давлению sn : , где fтр – коэффициент трения. С увеличением плотности коэффициент трения Кулона возрастает и зависимость fтр(r) имеет вид (3.91):.

Величина tск не может превышать максимального значения tmax, допускаемого условием текучести. Следуя работе, положим, что tmax равно пределу текучести дисперсной среды на чистый сдвиг:
tmax = tсд (закон трения Прандтля). Тогда при скольжении песчаной оболочки по внутренней поверхности инструмента будем иметь

                                                 (4.28)

Удельная сила трения tсд принимается пропорциональной площади живого сечения. В рамках используемой реологической модели (4.15) живое сечение порошкового тела численно равно относительной доле контактного объема a2. Тогда напряжение tсд будет равно tсд = a2×tS, где tS – максимальный предел текучести на сдвиг дисперсной среды. При чистом сдвиге s = 0, и из определяющих соотношений (4.22) следует . С учетом выражения для функции плотности j получим величину удельной силы трения tсд:

                                        .                                   (4.29)

Для решения поставленной краевой задачи пластического деформирования со смешанными граничными условиями в работах использовался энергетический метод верхней оценки. Деформируемый объем разбивался на отдельные блоки – заготовка и три характерных блока песчаной оболочки. Кинематически допустимое поле скоростей задавалось из условия однородности скорости объемной деформации в пределах каждого блока. В модели учитывалось внешнее трение оболочки по закону Прандтля. Было получено хорошее соответствие расчетных и экспериментальных данных по кинетике изменения высоты средней части заготовки для трех СВС-композиций системы TiC-Ni.

Возможности энергетического метода позволяют рассчитать среднюю плотность и пропорциональное изменение геометрических размеров без искажения формы СВС-прессованной заготовки. В реальном процессе неоднородное распределение температуры и реологических свойств по объему заготовки приводит к существенному искажению ее формы. Кроме того, различие реологических свойств продуктов синтеза и оболочки также обуславливает неоднородность напряженно-деформированного состояния при СВС-прессовании. Соответственно для описания закономерностей неоднородного деформирования необходимо использовать численные методы. Численное решение краевой задачи пластического деформирования при СВС-прессовании методом конечных элементов получено в работах, ставших основанием дальнейшего изложения материала.

 

 

< Предыдущая		Следующая >